书籍名称：《数学：确定性的丧失》
基础信息：[美] M·克莱因 / 1997 / 湖南科学技术出版社
豆瓣评分：8.6/10
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读完时间：2009-08-20 14:34:48
我的评分：5.0/5.0
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阅读笔记：
P92
只要数学命题涉及实在，它们就是不可靠的；只要它们是可靠的，它们就不涉及实在。
P93
W.詹姆斯所说：“认得智力生命几乎全部取决于他的理性知识代替感性知识的程度，我们的经验正来自于这样的感性知识”。而这种理性知识并不是感性知识的真实表达。
P98
欧几里得自以为对不严密的作图给出了精确的证明，但是人们从整体上看待欧几里得的工作时，却又发现他实际上是对精确的作图给出了不严密的证明。
P101
我们现在仍把x^2成为x的平方，把x^3称为x的立方，而不说x的二次方或者三次方，因为普遍的量x^2和x^3曾仅仅只有几何意义。
P106
印度人远比希腊人幼稚，因为他们看不出无理数概念所涉及的逻辑难点。他们对计算的兴趣使他们忽视了那些在希腊思想中被认为是最基本的区别。但是在他们随意地把那些适用于有理数的步骤运用到无理数的过程中，数学却取得了进展。
印度人并不了解他们对数学的贡献有多么重要，他们有为数不多的一些不错的思想，例如，数字1到9用独立的记号表示，将六十进制转化为十进制，负数，以及把0当作一个数来对待。这些思想都是漫不经心的。
P167
符号的魔力泛滥，耗尽了他们的理性，18世纪被称为数学史上的英雄时代，因为这个时期的数学家们在几乎没有逻辑支持的前提下，用于开拓并征服了众多科学领域。
P169
失去了信念的支持，他们不得不重新检验自己的工作，可是他们面对的是模糊不清，证据不足，自相矛盾，甚至是完全的是非混淆。他们认识到数学并不像过去所认为的那样是推理的典范，不过是用直觉、几何图形的永恒性原理之类的原理和求助于被证明可以接受的形而上学取代推理而已。
P171
神圣的欧式几何虽然一直受到怀疑，但是在实际应用中并没有遇到任何麻烦。事实上，两千多年的可靠使用确保了其未加证明的逻辑的正确性。
P196
逻辑是使人走向错误的艺术。
P204
“所有的法则皆有例外”，是指向自己并否定自身的。
Polysyllabic 这个词是多音节的，但是monosyllabic这个词是单音节的。
P219
为什么世界符合数学推理呢？
P239
经典的逻辑是从有限集及其自己的数学中提取出来的……忘记这一有限的起源，人们就会错误地把逻辑看作时高于并且先于全部数学的某种东西，从而最终不加证明地应用到无限集合的数学中区。这是集合论的堕落和原罪，而悖论是其应受的惩罚，令人惊讶的不是这种矛盾的出现，而是矛盾出现的如此之晚。
P245
思想并非起源于语言形式，实际上，语言只是传输这种思想的一种不完善的工具。这个已被详细讨论过的问题就是细想能否独立于语言而存在……克莱则坚决认为语言是思想的累赘。
P251
无理数作为数字是没有直观上的意义的。即使我们能引入一些尺寸为无理数的长度，这些长度本身并不能为无理数提供任何直观的含义。但无理数作为李想的元素即使在初等数学中也也是必不可少的，这也就是为什么数学家们在1870年以前没有任何逻辑基础的情况下用到它的原因。
P257
“对于哪里可以找到数学严密性的问题，这两派提供了不同的答案，直觉主义者说再人类的理智中，而形式主义者说是在纸上。”布劳维
P269
因此当布劳维弄清楚了直觉上明确的东西不及经典数学上的证明的东西时，哥德尔却证明了直觉的可靠超过了数学证明。
P283
现在数学最主要得成就是在于发现了什么是数学——罗素
P342
他们知道并无逻辑支持着负数、无理数、复数、代数和微积分，他们依靠的是应用。
P346
正如皮卡所指出的，如果牛顿和莱布尼茨知道了连续函数不一定可微的话，他们就不会创立微积分学了。
P348
但是这些场都是虚构的，我们队其物理本质一无所知……科学是合理化的虚构，而正是数学使之合理化。
P350
任何关于数学是否有效的疑问都可以得到肯定的回答，但是数学为什么有效却不那么容易回答……为什么它在确保定量分析上做得如此之好？为什么人们希望一个独立的、抽象的、先验的“精确”思想体系对自然施加影响呢？
P351
没有经验一句，而只靠纯粹的思维，人类就能发现实际事物的性质吗？
P354
我们通过修正物理定律使数学变得适合。——彭加勒
P358
上帝难于捉摸，但并无恶意。
P362
数学的成功是有代价的，代价就是把世界用长度、质量、重量、时间等简单的概念看待。这样的解释不足以带便丰富多彩的体验的，就如同一个人的身高并不代表此人一样，数学最多只描述了自然的某些过程，但其记号并未容纳所有的一切。
P366
怀特海曾写道：“让我们把数学的追求看作时人类精神上神授的疯狂吧。”疯狂，也许可以这么说，但是毫无疑问，它是神授的。
【完】2011年4月22日